在今天看見明天

「捨不得」背後的數學與通識

朱敬一

名人專欄

966期

2015-06-25 16:06

學測閱卷老師批評,許多考生以祖父母輩去世為題材寫作「捨不得」,是浮濫之作,其實若考慮數學與通識,學生可能是冤枉的。

學測作文題目「捨不得」,據說有許多考生寫祖父母或外祖父母之去世,遭到閱卷老師批評,認為那是浮濫之作,因為不太可能有那麼多考生的祖父母輩都恰巧去世。之後,有數學家以人口統計(台灣不同年齡層死亡率)去估計,藉以論述以此題材切入寫作的學生是否「不合理的多」。

 

我認為這是個重要的問題:如果祖父母輩去世人口的比例,與考生以此題材寫作的比例相當,那麼就沒有理由批評考生胡亂發揮。但是媒體上呈現的人口統計演算是錯誤的,只好自己下海,做一番拋磚引玉囉。

 

我一人,有父母各一人,而父母又各有其父母⋯⋯,所以N代之上,我的祖先人數將有二的N次方人。以此推算,十代以上我的祖先一○二四人,姑且以一千人計,因此二十代以上我的祖先約百萬人,三十代以上即十億人。但是這樣算顯然不對。

 

當今全球六十五億人,若每人三十代前有十億祖先,則三十代以上我們的祖先總數應該有六五○億人。三十代約六百年,六百年前全球人口僅數億人,絕對遠比六五○億人少。如果六百年前全球只有六.五億人,則表示先前所算六五○億人中,有九九%是「共同祖先」。換言之,計算祖先,必須了解人的祖先不是統計上的獨立事件。我的外玄祖父,可能是你的玄祖父,是同一個人。

 

回到台灣。祖父母輩才兩代,兩代祖先是二的平方,故台灣二三○○萬人兩代以上的祖先,若是依獨立事件計算,應該有九二○○萬人。現在一代二十五年,二代五十年,五十年前台灣大概只有一千萬人左右,所以不考慮共同祖先做計算,誤差大矣。

 

舉個極端例子:假設康熙在西元一六九○年時,由二十位嬪妃生了二十個孩子,這二十人也分別在一七一○年生了二十個孩子。在一七二三年,我們把這四百個十三歲孫子女湊在一起寫作文,題目是「捨不得」。如果康熙在一七二二年去世,這四百個孫子可能都寫「捨不得皇阿瑪去世」。閱卷老師如果沒有考慮共同祖先的可能,一定會說:考生濫情,全部零分。殊不知這四百人只有一個共同祖先。

 

如果上wiki,就會發現,當今全球男生有近五%是元朝成吉思汗的後裔,這個估算準不準我不知,但是此中文獻稱為common ancestor,是應用數學的一支。數學家Kenneth Wachter與Douglas Rhode都曾經研究過這個問題。Rhode的文章還登上《Nature》期刊,絕非沒沒無聞之作。

 

我想說的是:即使是國文老師也該有數學通識,否則若因沒有考慮「共同祖先」,而寃枉作文考生給低分,那就罪過了。

(本專欄隔周刊出)

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