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用一顆茶葉蛋學「邊際效應」!一堂大人的社會課

劉炯朗

教育

達志

2018-12-14 16:41

在資源是有限的前提之下,如何把資源分配到不同的項目上使用,成為經濟學、社會學、心理學和日常生活裡的重要課題。

 

文/劉炯朗
 

有限的「資源」

肚子餓、營養不良、結婚宴席,都離不開食物;口渴、洗衣服、灌溉農田、水力發電,都需要水;買便當、買房子、投資股票、借貸給朋友,非錢不行;搬運貨物、挖洞築牆、指揮交通、繕寫文書、裝配精密儀器,都靠人力;讀書、運動、約會、旅遊、休息、睡覺,都要有時間。

食物、水、金錢、人力、時間,都是為了完成一份工作、達到一個目標,所需要的有形或無形之物,統稱為「資源」(resource)。資源的特色是:一、可以被使用;二、被消耗後可能會消失;三、總量有限,但可以有新的來源或再生。

在資源是有限的前提之下,如何把資源分配到不同的項目上使用,成為經濟學、社會學、心理學和日常生活裡的重要課題。

邊際效應

早上起來吃了茶葉蛋,咕咕叫的五臟廟安靜下來,精神為之抖擻;公司周年慶祝酒會,政商好友的花籃、花牌紛至沓來,心花怒放;警察局增加了一批新進警察,竊盜事件減少;候選人募得新的競選經費,民調節節上升。吃茶葉蛋、收到花籃、增加新進警察、募得新的競選經費,都可以稱為「行為」(behavior);肚子飽了、開心得意了、盜竊事件減少了、民調上升了,都可以稱為與行為相對的「效應」(utility)。

我們往往會「量化」這些行為和效應:早上起來吃了三顆茶葉蛋,肚子得到80分的滿足感;周年慶祝酒會收到100個花籃,心情十二萬分愉快;增加20位新進警察,盜竊事件減少了50件;競選經費增加了100萬,民調提高了5%,這些是「行為」裡所有動作的總效應。

我們也可以算出「行為」裡某一個動作的平均效應:吃了3顆茶葉蛋得到80分的效應,每一顆茶葉蛋就是80除以3,等於26.67分的效應;收到100個花籃,心情變得十二萬分愉快,十二萬除以一百,等於每個花籃的效應是1200分。

可是,假如我們趕著上班,只來得及吃兩顆茶葉蛋呢?假如媽媽堅持我們在吃了兩顆蛋之後,再多吃一顆或兩顆茶葉蛋呢?我們應該更精準估算每一顆茶葉蛋帶來的效應:一早起來肚子空空如也,吃第一顆茶葉蛋就獲得五十分的效應,再吃一顆達到七十分的效應,再吃一顆一共得到八十分的效應。

換句話說,雖然是一口氣吃了三顆茶葉蛋,但每顆茶葉蛋的效應不同。第一顆茶葉蛋的效應是把我們的滿足感從0分提升到50分,第二顆蛋的效應是把我們的滿足感從50分提升到70分,也就是第二顆蛋的效應是20分,第三顆茶葉蛋的效應是把我們的滿足感從70分提升到80分,也就是說它的效應是10分。假如再吃第四顆茶葉蛋,效應可能是5分,再吃第五顆茶葉蛋,效應可能只有兩分而已。

一口氣吃下好幾顆茶葉蛋時,每多吃一顆所增加的效應,叫做「邊際效應」(marginal utility)。五顆茶葉蛋的邊際效應分別是50分、20分、10分、5分和2分。警察局增加一位新進警察,盜竊案少了5宗,若再加一位新進警察,盜竊案一共少了7宗,再加第三位新進警察,盜竊案一共少了8宗,因此每增加一位新進警察的邊際效應分別是盜竊案減少了五宗、二宗、一宗。

在上面幾個例子裡,每多吃一顆茶葉蛋、每多收到一個花籃、每增加一位新進警察、每增加一百萬競選經費,產生的邊際效應都是正數,但邊際效應可能是正數,也可能是負數,也可能等於零。

回到茶葉蛋的例子,肚子餓的時候一顆茶葉蛋的邊際效應是正的,可是吃到第五顆、第六顆、第七顆之後,吃到快吐了,邊際效應可能就變成負的了;生病的時候吃抗生素,一開始邊際效應是正的,若是服用過量,邊際效應就可能變成負的了;雪中送炭時的邊際效應是正的,若炭多得無處可放,邊際效應就可能變成負的了。

有句老話說:「一個和尚挑水吃,兩個和尚擔水吃,三個和尚沒水吃。」也可以解釋成,第一個和尚的邊際效應是兩桶水,第二個和尚的邊際效應是負一桶水,第三個和尚的邊際效應又再負一桶水。「一斗米養個恩人,一石米養個仇人」的意思也相同。

邊際效應也可能等於零。報僮不小心送來兩份當天的報紙,第二份報紙的邊際效應就是零;一家五口去遊樂場玩,買門票時售票員說今天買五送一,第六張門票的邊際效應也是零。古諺「渴時一滴如甘露,醉後添杯不如無」,口渴的時候一滴水的邊際效應很大,喝醉的時候,一杯酒的邊際效應就是零了。

上述舉例中的邊際效應都是逐漸遞減,這在許多現實的經濟和社會行為裡都會出現,因此也被稱為「邊際效應遞減定律」。不過在現實生活中,邊際效應也是會遞增的:木匠要做一把椅子,第一和第二隻椅腳的邊際效應是零,第三隻椅腳的邊際效應最大,第四隻椅腳也有正的邊際效應,因為能夠增加椅子的平穩度,但第五隻和第六隻椅腳的邊際效應又等於零了。

同樣的道理,想打麻將時,第四個人的邊際效應最大,第五個人的邊際效應就可能是零甚至是負的了。

資源的分配和總效應

再回到茶葉蛋的例子,媽媽說除了茶葉蛋,早餐還有香蕉可以吃。吃一根香蕉有120分的效應,吃兩根一共有160分的效應,吃三根一共有180分的效應,換句話說,三根香蕉的邊際效應分別是120分、40分、20分,那我們該怎樣搭配茶葉蛋和香蕉呢?

如果媽媽說:「沒有任何限制,你們就開懷大吃吧!」我們先假設茶葉蛋和香蕉帶來的效應互不干擾,那兩顆茶葉蛋配一根香蕉,將帶來一百九十分的效應(70 + 120 = 190)、一顆茶葉蛋配三根香蕉則有230分的效應(50 + 180 = 230)。

但是,如果茶葉蛋和香蕉並不是媽媽供應的,便利商店裡的茶葉蛋每顆10塊錢,香蕉每根20塊錢,媽媽給我們的預算(總資源)是50塊錢,要如何分配這50塊錢的預算,讓茶葉蛋和香蕉的總效應達到最高呢?

有以下幾種可能:五顆茶葉蛋加零根香蕉(總效應 50 + 20 + 10 + 5 + 2 = 87);三顆茶葉蛋加一根香蕉(總效應 50 + 20 + 10 + 120 = 200);一顆茶葉蛋加兩根香蕉(總效應 50 + 120 + 40 = 210),

因此,一顆茶葉蛋配兩根香蕉帶來的總效應最高。圖一的(a)、(b)分別指出了茶葉蛋和香蕉的數目和總效應之間的關係。

這裡可以有個簡單的延伸:為了方便進行數學運算,我們假設茶葉蛋可以負一個、一.○一個、1.02個……2個、2.01個……,香蕉也可以負1根、1.01根、1.02根……,而每0.01顆茶葉蛋、每0.01根香蕉的邊際效應也會隨之變化,這樣一來,圖一(a)和(b)的離散數據就會變成像圖二的(a)和(b),是用曲線來表達的連續數據了。

同樣的,預算的分配我們也可以花1塊錢、1.01塊錢、1.02塊錢……。

「朝四暮三」的邊際效應

莊子《齊物論》裡「朝四暮三」的故事想必大家都很熟悉。宋國有一個很喜歡猴子的人,在家裡養了一大群猴子,甚至把家人的口糧節省下來,讓猴子們吃得飽,他很懂得猴子們的心意,猴子們也很懂得他的心意。不久,因為糧食缺乏,他不得不限制猴子們的飼料分量,卻又擔心猴子們會反抗。他先對猴子們說,早上給三顆橡實、晚上給四顆,可以嗎?猴子們氣得跳了起來;他改口說,那麼早上四顆、晚上三顆?猴子們高興得不得了。「朝四暮三」原來的寓意是事情實質沒有改變,只是用不同的表達方式來誆騙別人。

然而,「朝四暮三」的故事其實可以用邊際效應來解釋:在不同的時間,猴子們吃橡實的邊際效應可能是不同的,早上因為剛睡醒,肚子空空,吃到第四顆的邊際效應還是滿高的;可是晚上想睡覺了,吃到第四顆的邊際效應就比較小些。

讓我們更小心分析這個問題。首先,猴子們吃的橡實有兩種,一種是早上吃的橡實,一種是晚上吃的橡實。一口氣吃七顆早上橡實的邊際效應,分別是四十、三十、二十五、二十五、十、五、五分;一口氣吃七顆晚上橡實的邊際效應,分別是五十、四十、二十、十、十、五、五分。

在一整天的橡實總數為七顆的前提之下,經計算可知:朝三暮四的總效應是二百一十五分、朝四暮三的總效應是二百三十分,朝四暮三的總效應確實比朝三暮四來得好。我們同時也發現,朝五暮二的總效應是二百二十分,也比朝三暮四要好;朝六暮一、朝一暮六和朝三暮二的總效應都是一百八十五分。

同樣是分配,我們每天有24小時,要把這24小時分配在睡眠、工作、學習、運動和與家人朋友共處這5個項目上面,這些項目的效應可以用一個健康、快樂、成功的效應來量度。每一小時或每一分鐘花在每一個項目的邊際效應是不同的,粗略來說,大致上都是遞減,例如剛上床睡覺時又甜又香,可是睡夠了,邊際效應就逐漸趨向於零;剛開始工作時的邊際效應很高,若工作過了頭,邊際效應可能就變成負的。若能把花在這五個項目上的時間總效應算出來,就是健康、快樂和成功的指數,也就知道如何分配每天的二十四小時了。

特別講這個例子是為了指出,分配是要把固定的預算分配在不同的商品或項目上,最簡單的例子是只有兩個不同的商品或項目,但這個觀念和方法可以推廣到兩個以上的不同商品或項目。

 

書籍簡介:大人的社會課:從阻撓議事到邊際效應,搞懂世界的真實運作

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