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數學像魔法 讓你算出看不到的東西 P.56

數學像魔法 讓你算出看不到的東西 P.56

從前有位哲學家無意中冒犯了羅馬皇帝,皇帝跟他說:﹁你可以說一句話讓自己免死,不過,如果你說的是﹃真話﹄就砍頭,如果說的是﹃假話﹄就絞死。﹂聰明如你,若是那位哲學家,你要如何回答?

這是蘭陽女中數學老師陳敏與學生討論的題目。這是個邏輯問題,也是個數學問題,幾位慧黠的蘭陽女中高二生俏皮地說出答案:哲學家想出的那句話是﹁我即將被絞死!﹂

一位女學生得意地解釋,如果哲學家說的是﹁真話﹂,那他應該被砍頭,但這顯然與事實不符,那他說的就是﹁假話﹂,但如果是假話,就必須被絞死,不過,如果皇帝真的把他絞死,那又代表他說的是真的,如此反覆的結果,就形成了邏輯上的兩難困局。哲學家巧妙地在真假中間布置了矛盾,拿到了足以對抗皇帝的免死金牌。

從她們有條不紊的解說中,你會發現,她們雖然不是數學資優班的學生,但卻喜歡邏輯推理,對數學很感興趣。


從數學家故事找問題 解題不再只有一種方法

冬天的宜蘭,低沉的雲靄中,透著一股冷清的寒意。四位蘭陽女中學生不畏寒冷,在陳敏$00002$ 的帶領下,熱情地訴說過去五個多月來的數學研究心得。從去年七月十四日起,每個禮拜這群師生聚會一次,作讀書報告,讀的都是數學家故事,像是﹁數學的發現趣談﹂、﹁天才之旅﹂、﹁沒有數學的數學﹂等等,從數學家的故事中體會學習的快樂,每位學生見解不同,被激勵的地方也不一樣。

這是蘭陽女中向教育部申請的﹁高中數學科展人才培育計畫﹂,由陳敏$00002$ 帶著四名普通班的學生,及一位負責製作網頁的學生,每兩個星期解五題數學題目,題目則從大家讀的數學家故事中發掘,然後一起研究如何解題。﹁有時我也會被考倒喲!﹂陳老師說這話時雖然謙虛,但他不諱言,這個計畫讓學生、老師相互成長。

這個計畫聽起來簡單,實際操作卻有相當難度。陳敏$00002$ 解釋,要學生解題並不難,但要學生自己找﹁題目﹂讓大家解,卻很難。藉由這個教學計畫,這群普通學生現在已可以慢慢從書中找到題目,從解題人變成出題人,進而發現學習數學的新樂趣。

參與計畫的一位女學生說,以前解數學題目時,心中只想趕快解出來就好。現在解數學題,心中卻是不斷地在想:﹁還有沒有其他的方法可以解?﹂年輕女學生的腦袋似乎就這樣被解開了,一道數學題能想出各式不同的解法,不就是﹁創意﹂嘛?另一位女學生則說,未加入此計畫前,中午跟同學抬便當,都是順著教室前的迴廊走。現在則會運用數學原理,找出最近的一條路。看來數學果真是可以運用到生活裡,讓生活更輕鬆、更帶勁。


多元閱讀開啟新視野水草原理看到數學變魔法

陳敏希望,透過這樣的教學方式能啟發學生的多元想法。他說,會成立這個小組研究數學,就是期盼藉由數學原理的由來及數學家的故事,激發學生對數學的興趣,更重要的是,這股閱讀風潮也感染學校其他老師,改變老師們的思惟模式,願意多元閱讀。現在老師們也透過不同的讀書會,協助其他領域的老師開啟新視野。

會進行這樣的研究計畫,起源於陳敏$00002$ 在師大修博士,追隨的老師洪萬生正是數學史專家,在洪萬生的指導下,一群散居全台各地的弟子們,計畫分區成立不同的數學史研究社群,希望透過研讀數學史,啟發一般人對數學的興趣,進而讓學生愛上數學。

在洪萬生與弟子們編寫的期刊︽HPM通訊︾中,刊載著一則清大數學系教授王金龍研習數學的小故事。王金龍說,他在學生時期解過一個有趣的數學題,題目是﹁有個人在湖面上划船,發現水草高於湖面一公尺,乃將水草往外拉二公尺後,水草端點接觸到水面,試問水草長約幾公尺?﹂

這個題目用直角三角形的﹁畢氏定理﹂即可算出答案。更妙的是,這個題目在一千年前的中國古書上即有記載,數學居然可以算出﹁看不見的東西︵水面下的水草︶﹂,這個猶如魔法的威力,激發了五十七年次的王金龍對數學的興趣,他最後決定捨棄台大醫學院不讀,選擇申請保送台大數學系,並在三十歲拿到哈佛的數學博士。

這個故事深深打動上述幾位蘭陽女中學生,她們以王金龍提出的數學題為例,認真地說,就如同參加這個培育計畫,讓她們見到很多課本上看不到的題目,也見識到數學的威力。蘭陽女中的這個數學培育團隊,每周三利用午休時間做討論,學生們還得利用下課回家的時間,做額外功課,然而,她們卻愈學愈帶勁。辛苦製作的心得報告全都放在蘭陽女中網站上,為期六個月的計畫便告一段落,她們說:﹁如果還有機會一定會再參加﹂。至於參加這項計畫最大的收穫,是透過對數學史的研究,啟發了多元思考的創意,這使她們在碰到問題時,思惟邏輯總是能跟同學不一樣。


找到學習夥伴 三人行必有我師

陳敏在蘭陽地區努力研究新的數學教學方法,每星期二中午,與陳敏同門師兄妹的四位老師:蘇意雯、杜雲華、游經祥及蘇慧珍,則在台北成功高中一起思索如何把數學史經過適當包裝,融入高中數學教材,讓學生從歷史故事中,明瞭數學發展的脈絡。杜雲華回憶,去年有一名高三學生面臨聯考前的徬徨,數學成績始終難以突破,希望能獲得他的協助。杜雲華就講了凱利與其摯友席爾維斯特的故事,告訴學生這兩位數學家在研究之路上彼此相知相惜、互相激勵,最後還共同發表心得並引領風潮。因此,建議這位學生不妨找志同道合的同學組成﹁學習夥伴﹂,不要孤身作戰。這名學生後來果然找了兩位同學一起研讀數學,結果三個人的數學成績都突飛猛進。

楊文耀就是其中之一,他在﹁學習夥伴﹂的鞭策下,考上清華大學材料工程學系。他回憶當時的情景,高三時常常一個人單打獨鬥研讀功課,後來與二位同學一起討論,一個禮拜討論二至三天,尤其針對難解的數學題目,三人一塊兒設法解開難題,而且不拘泥一種解法,就這樣互相切磋,數學成績明顯變好,﹁真的是三個臭皮匠勝過一個諸葛亮﹂,他很開心地說。進入大學後,整個學習環境與高中迥異,不再只是單一的解題,必須要多方思考,同時得提出不同的見解。這樣的環境讓那些習慣死背的同學傷腦筋,但楊文耀反而優游其間,他認為﹁學習夥伴﹂理論在高三那年發揮至極,讓他在大學裡如魚得水。

這群成功高中的老師,經過年餘研究,不僅讓學生的思考變多元,也改變了老師的想法。他們認為,以前是照著教材教學,少有自己的意見,現在則會批判教材,不過要批判別人之前,就得先自己先有料,學點新東西才行,也因此體會出﹁課本不是惟一的學習管道﹂。﹁不同老師的看法,會刺激老師之間的成長,看得愈多,益發覺得自己渺小,也會用更嚴謹的態度去看待學生。﹂杜雲華心有所感地說。

嚴謹對待學生,並不是指在課堂上嚴肅上課。走過成功高中三○二教室,不但常聽到學生們哈哈大笑,還不時地聽到拍桌聲,讓人好奇到底他們是在上什麼課?原來是游經祥在上數學課,他給學生許多題目回家做,當天是討論日,他幽默地說:﹁今天要請那位大俠出來算一算咧?﹂學生們又是一陣哄堂大笑。運用不同的教學法,竟能讓數學變得如此輕鬆有趣。

這群高中數學老師正努力為冰冷的數學教學困境解套,要讓一般學生不再視學數學為苦差事。與培育數理資優生的老師不同,他們正藉由數學家的故事,讓學生看到在每個生硬冰冷的數學公式背後,都藏著一個有趣的故事。藉由這些故事刺激學生學習數學的動機,這群老師堅信,只要不排斥數學,學生對其他科目也都會有興趣,因為數學是科學之母,不再受困於數學,等於打開進入科學的門扉。

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